Vorlesung: Algebraische Geometrie 1 (SS 2007 - PD Dr. Ulrich Görtz)
Die Algebraische Geometrie ist ein spannendes und modernes Gebiet der Mathematik. Ihr Ausgangspunkt ist das Studium von Systemen polynomialer Gleichungen in mehreren Unbestimmten. Die Algebraische Geometrie hat Verbindungen zu vielen Bereichen der Mathematik, wie zum Beispiel der komplexen Geometrie, der Zahlentheorie, der Topologie, aber auch zur theoretischen Physik.
In der Vorlesung beschäftigen wir uns zunächst mit dem 'klassischen' Standpunkt der Varietäten.
Im zweiten Teil lernen wir dann die von Grothendieck entwickelte Sprache der Schemata kennen. Der Begriff des Schemas verallgemeinert den der Varietät und bietet in vielen Fällen einen eleganteren Zugang. Die Einführung von Schemata hat in den 60er und 70er Jahren die Algebraische Geometrie revolutioniert; heutzutage bildet diese Theorie die allgemein akzeptierte Grundlage der Algebraischen Geometrie.
Die größere Allgemeinheit erfordert allerdings auch einen höheren technischen Aufwand. Wir werden in der Vorlesung sehen, dass es sich lohnt, diesen Preis zu zahlen. Die volle Kraft des Grothendieckschen Zugangs offenbart sich beim weitergehenden Studium der algebraischen Geometrie, zu dem die Vorlesung die Tür aufstoßen möchte.
Zeit und Ort: Di, 8-10, SR A; Do, 8-10, SR A.
Vorkenntnisse:
Guten Grundstudiumskenntnisse. Die Vorlesung richtet sich insbesondere an
die Studenten, die im Wintersemester 06/07 die Algebra 2 gehört haben.
Im Verlauf der Vorlesung werden gewisse Grundkenntnisse über kommutative
Algebra benötigt. Denjenigen, die diese Kenntnisse noch nicht haben,
empfehle ich nachdrücklich den Besuch des Seminars über Kommutative Algebra
bei Prof. Rapoport.
Übungen: Do, 16-18, SR C
| Übungsblatt | Abgabe am | ||
| Blatt 1 | postscript | 10.04.2007 | |
| Blatt 2 | postscript | 17.04.2007 | |
| Blatt 3 | postscript | 24.04.2007 | |
| Blatt 4 | postscript | 02.05.2007 | |
| Blatt 5 | postscript | 08.05.2007 | |
| Blatt 6 | postscript | 15.05.2007 | |
| Blatt 7 | postscript | 22.05.2007 | |
| Blatt 8 | postscript | 05.06.2007 | |
| Blatt 9 | postscript | 12.06.2007 | |
| Blatt 10 | postscript | 19.06.2007 | |
| Blatt 11 | postscript | 26.06.2007 | |
| Blatt 12 | postscript | 03.07.2007 | |
| Blatt 13 | postscript | 10.07.2007 | |
Skript:
Es gibt kein Skript zur Vorlesung im engeren Sinne, allerdings werde ich
hier parallel zur Vorlesung erste Versionen einiger Kapitel aus einem Buch
über algebraische Geometrie, das ich gemeinsam mit Torsten
Wedhorn schreibe, zur Verfügung stellen. Über Rückmeldungen würden
wir uns freuen.
- Kapitel 1 (komplett) (aktualisiert am 03.05.): pdf.
- Kapitel 3 (komplett, vorläufige Version) (aktualisiert am 27.06.): pdf.
- Kapitel 7 (komplett) (aktualisiert am 05.07.): pdf.
Literatur:
Es gibt eine Unmenge an Lehrbüchern zur algebraischen Geometrie. Ich gebe
hier eine Auswahl an.
Eine gute Einführung, die sich auf das wesentliche beschränkt, ist
- Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes, Springer Lecture Notes in Math. 1358, pdf (zugänglich von Institutsrechnern)
Weitere grundlegende Referenzen sind
- Dieudonné, J., Grothendieck, A., Eléménts de géométrie algébrique I-IV, Publ. Math. IHES 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960-67), pdf (gescannt)
- Hartshorne, R., Algebraic Geometry, Springer Graduate Texts in Mathematics 52
- Shafarevich, I., Basic Algebraic Geometry 1, 2, Springer
Das Buch von Hartshorne ist wesentlich umfangreicher als das von Mumford, insbesondere wenn man die Übungen einrechnet; da diese für ein gutes Verständnis des Stoffes teilweise unabdingbar sind, ist das Buch aber auch nicht ganz leicht lesbar. EGA ist die Standardreferenz für die Grundlagen der algebraischen Geometrie. Hier werden die Grundlagen in großer Allgemeinheit, und sehr ausführlich gelegt. Auch wenn es zu Beginn schwierig ist, sich darin zurechtzufinden, sollte man das von Beginn an üben. Die Beweise in EGA sind klar und vollständig, und es lohnt sich, sich frühzeitig mit dem Aufbau des Werks vertraut zu machen. Dabei sei ganz allgemein bemerkt, dass Grundkenntnisse der französischen Sprache für ein Studium der algebraischen Geometrie auf einem höheren Niveau unabdingbar sind. Wer diese nicht hat, sollte in den nächsten Semsterferien einen Sprachkurs einplanen --- das lohnt sich auch ganz unabhängig von der algebraischen Geometrie. Die Bücher von Shafarevich sind eine gute Ergänzung zu den anderen Texten.
Ein neueres Buch, das leichter zugänglich ist als EGA, aber dennoch eine höhere Allgemeinheit als etwa das Buch von Hartshorne anstrebt, ist
- Liu, Q., Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford Univ. Press
Mit algebraischer Geometrie über den komplexen Zahlen und komplexer Geometrie beschäftigen sich zum Beispiel
- Griffiths, P., Harris, J., Principles of Algebraic Geometry, Wiley Interscience
- Huybrechts, D., Complex geometry, Springer Universitext
Es gibt auch eine Reihe von Vorlesungsskripten (von unterschiedlicher Qualität) im Netz, zum Beispiel:
- Debarre, O., Introduction à la géométrie algébrique
- Dolgachev, I., Introduction to algebraic geometry
- Gathmann, A., Algebraic geometry
- Milne, J., Algebraic Geometry
Im Skript von Milne finden sich noch weitere Literaturangaben mit Kommentaren (denen ich im wesentlichen zustimme). Eine wesentlich umfangreichere Liste von Skripten hat Franz Lemmermeyer zusammengestellt.
Schließlich noch einige Literaturempfehlungen zur kommutativen Algebra:
- Atiyah, M., MacDonald, I., Commutative Algebra, Addison-Wesley
- Eisenbud, D., Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer Graduate Texts in Mathematics 150
- Matsumura, H., Commutative Algebra, Benjamin
- Matsumura, H., Commutative Ring Theory, Cambridge University Press
- Zariski, O., Samuel, P., Commutative algebra 1, 2, Springer Graduate Texts in Mathematics 28, 29.
Schließlich noch zwei Verweise zur Sprache der Kategorien:
- MacLane, S., Categories for the working mathematician, Springer GTM 5.
- Eine kurze Zusammenstellung der wichtigsten Definitionen von T. Wedhorn.
Inhalt der Vorlesung:
1. Prävarietäten
- Affine algebraische Mengen
- Affine algebraischen Menge als Räume mit Funktionen
- Prävarietäten
- Beispiele: Pn(k), Kegel, Quadriken
2. Spektrum eines Ringes
- Spec R als topologischer Raum
- Garben, (lokal) geringte Räume
- Strukturgarbe auf dem Spektrum eines Ringes
3. Schemata
- Affine Schemata, Schemata
- Einfache Eigenschaften von Schemata
- Prävarietäten als Schemata
4. Quasikohärente Moduln
5. Unterschemata
- Offene Immersionen
- Abgeschlossene Immersionen
- Immersionen
(6. Lokale Eigenschaften von Schemata)
7. Der funktorielle Standpunkt
- S-wertige Punkte
- Darstellbare Funktoren
- Beispiel: die Grassmannsche
8. Faserprodukte
- Universelle Eigenschaft des Faserprodukts
- Konstruktion des Faserprodukts in der Kategorie der Schemata
- Topologische Eigenschaften des Faserprodukts
- Basiswechsel, Fasern eines Morphismus, schema-theor. Durchschnitt
- Separiertheit
Ausblick
Letzte Änderung: 15.03.2010, Sekretariat Prof. Dr. M. Rapoport